Answer :
आइगेन मान (eigenvalues) एक विशेष प्रकार के स्कैलर होते हैं जो किसी मैट्रिक्स के गुणधर्मों को दर्शाते हैं। आइए हम मैट्रिक्स
[tex]$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] $[/tex]
के आइगेन मान जानते हैं।
हमारे पास परिणाम स्वरूप आइगेन मान निम्नलिखित हैं:
[tex]$ [3, -2, 1] $[/tex]
तो, इस मैट्रिक्स के आइगेन मान हैं [tex]\(3\)[/tex], [tex]\(-2\)[/tex], और [tex]\(1\)[/tex]।
आइगेन मान निकालने की प्रक्रिया में, हम खासकर मैट्रिक्स के चरित्रत्मक बहुपद (characteristic polynomial) का उपयोग करते हैं। चरित्रत्मक बहुपद को मैट्रिक्स [tex]\(A\)[/tex] के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
[tex]$ \det(A - \lambda I) = 0 $[/tex]
जहाँ [tex]\(A\)[/tex] हमारा दिया गया मैट्रिक्स है, [tex]\(I\)[/tex] पहचान मैट्रिक्स (identity matrix) है और [tex]\(\lambda\)[/tex] आइगेन मान है।
इस प्रक्रिया के बाद, हमें जो विशेष मूल प्राप्त होते हैं, उन्हें हम आइगेन मान कहते हैं।
तो, उपरोक्त मैट्रिक्स के आइगेन मान हैं:
[tex]$ [3, -2, 1] $[/tex]
यानी, दिए गए मैट्रिक्स का अध्ययन करने पर हमें आईगेन मान [tex]\(3, -2\)[/tex], और [tex]\(1\)[/tex] प्राप्त होंगे।
[tex]$ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{array}\right] $[/tex]
के आइगेन मान जानते हैं।
हमारे पास परिणाम स्वरूप आइगेन मान निम्नलिखित हैं:
[tex]$ [3, -2, 1] $[/tex]
तो, इस मैट्रिक्स के आइगेन मान हैं [tex]\(3\)[/tex], [tex]\(-2\)[/tex], और [tex]\(1\)[/tex]।
आइगेन मान निकालने की प्रक्रिया में, हम खासकर मैट्रिक्स के चरित्रत्मक बहुपद (characteristic polynomial) का उपयोग करते हैं। चरित्रत्मक बहुपद को मैट्रिक्स [tex]\(A\)[/tex] के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे निम्नलिखित समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है:
[tex]$ \det(A - \lambda I) = 0 $[/tex]
जहाँ [tex]\(A\)[/tex] हमारा दिया गया मैट्रिक्स है, [tex]\(I\)[/tex] पहचान मैट्रिक्स (identity matrix) है और [tex]\(\lambda\)[/tex] आइगेन मान है।
इस प्रक्रिया के बाद, हमें जो विशेष मूल प्राप्त होते हैं, उन्हें हम आइगेन मान कहते हैं।
तो, उपरोक्त मैट्रिक्स के आइगेन मान हैं:
[tex]$ [3, -2, 1] $[/tex]
यानी, दिए गए मैट्रिक्स का अध्ययन करने पर हमें आईगेन मान [tex]\(3, -2\)[/tex], और [tex]\(1\)[/tex] प्राप्त होंगे।
