Answer :
Claro, para representar las funciones exponenciales a través de tablas de valores y de esa manera construir su gráfico, seguimos estos pasos. Aquí proporciono las tablas de valores para las funciones exponenciales dadas:
### a) [tex]\( f(x) = 3^{-2x} \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 81.0 \\ -1.9596 & 74.1190 \\ -1.9192 & 67.8226 \\ -1.8788 & 62.0611 \\ -1.8384 & 56.7890 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 0.0176 \\ 1.8788 & 0.0161 \\ 1.9192 & 0.0147 \\ 1.9596 & 0.0135 \\ 2 & 0.0123 \\ \end{array} \][/tex]
### b) [tex]\( f(x) = 2^{2x} \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0.0625 \\ -1.9596 & 0.0661 \\ -1.9192 & 0.0699 \\ -1.8788 & 0.0739 \\ -1.8384 & 0.0782 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 12.7884 \\ 1.8788 & 13.5252 \\ 1.9192 & 14.3044 \\ 1.9596 & 15.1284 \\ 2 & 16.0 \\ \end{array} \][/tex]
### c) [tex]\( f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 2.2500 \\ -1.9596 & 2.2134 \\ -1.9192 & 2.1775 \\ -1.8788 & 2.1421 \\ -1.8384 & 2.1073 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 0.4745 \\ 1.8788 & 0.4668 \\ 1.9192 & 0.4592 \\ 1.9596 & 0.4518 \\ 2 & 0.4444 \\ \end{array} \][/tex]
### d) [tex]\( f(x) = 3^{2x} \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0.0123 \\ -1.9596 & 0.0135 \\ -1.9192 & 0.0147 \\ -1.8788 & 0.0161 \\ -1.8384 & 0.0176 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 56.7890 \\ 1.8788 & 62.0611 \\ 1.9192 & 67.8226 \\ 1.9596 & 74.1190 \\ 2 & 81.0 \\ \end{array} \][/tex]
### Instrucciones para graficar:
1. Preparar una cuadrícula: Divida la cuadrícula en los puntos desde [tex]\( x = -2 \)[/tex] hasta [tex]\( x = 2 \)[/tex]. Asegúrese de que el eje y cubra todos los valores de la función desde el mínimo hasta el máximo.
2. Marque los puntos: Para cada función, tome los valores de la tabla y márquelos en la cuadrícula. Por ejemplo, para la función [tex]\( f(x) = 3^{-2x} \)[/tex], marque los puntos [tex]\((-2, 81.0)\)[/tex], [tex]\((-1.9596, 74.1190)\)[/tex], [tex]\(\ldots\)[/tex], [tex]\((2, 0.0123)\)[/tex].
3. Unir los puntos: Con una curva suave, una todos los puntos. Recuerde que las funciones exponenciales crecen rápidamente, así que trate de reflejar eso en su gráfico.
4. Repetir para las otras funciones: Siga el mismo procedimiento para [tex]\( f(x) = 2^{2x} \)[/tex], [tex]\( f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \)[/tex], y [tex]\( f(x) = 3^{2x} \)[/tex].
5. Etiquetar: No olvide etiquetar cada gráfica con su respectiva función para evitar confusiones.
Esto proporcionará un conjunto de gráficos visuales que representan las funciones exponenciales dadas y cómo cambian conforme [tex]\( x \)[/tex] varía desde [tex]\(-2\)[/tex] hasta [tex]\( 2 \)[/tex].
### a) [tex]\( f(x) = 3^{-2x} \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 81.0 \\ -1.9596 & 74.1190 \\ -1.9192 & 67.8226 \\ -1.8788 & 62.0611 \\ -1.8384 & 56.7890 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 0.0176 \\ 1.8788 & 0.0161 \\ 1.9192 & 0.0147 \\ 1.9596 & 0.0135 \\ 2 & 0.0123 \\ \end{array} \][/tex]
### b) [tex]\( f(x) = 2^{2x} \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0.0625 \\ -1.9596 & 0.0661 \\ -1.9192 & 0.0699 \\ -1.8788 & 0.0739 \\ -1.8384 & 0.0782 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 12.7884 \\ 1.8788 & 13.5252 \\ 1.9192 & 14.3044 \\ 1.9596 & 15.1284 \\ 2 & 16.0 \\ \end{array} \][/tex]
### c) [tex]\( f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 2.2500 \\ -1.9596 & 2.2134 \\ -1.9192 & 2.1775 \\ -1.8788 & 2.1421 \\ -1.8384 & 2.1073 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 0.4745 \\ 1.8788 & 0.4668 \\ 1.9192 & 0.4592 \\ 1.9596 & 0.4518 \\ 2 & 0.4444 \\ \end{array} \][/tex]
### d) [tex]\( f(x) = 3^{2x} \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline -2 & 0.0123 \\ -1.9596 & 0.0135 \\ -1.9192 & 0.0147 \\ -1.8788 & 0.0161 \\ -1.8384 & 0.0176 \\ \vdots & \vdots \\ 1.8384 & 56.7890 \\ 1.8788 & 62.0611 \\ 1.9192 & 67.8226 \\ 1.9596 & 74.1190 \\ 2 & 81.0 \\ \end{array} \][/tex]
### Instrucciones para graficar:
1. Preparar una cuadrícula: Divida la cuadrícula en los puntos desde [tex]\( x = -2 \)[/tex] hasta [tex]\( x = 2 \)[/tex]. Asegúrese de que el eje y cubra todos los valores de la función desde el mínimo hasta el máximo.
2. Marque los puntos: Para cada función, tome los valores de la tabla y márquelos en la cuadrícula. Por ejemplo, para la función [tex]\( f(x) = 3^{-2x} \)[/tex], marque los puntos [tex]\((-2, 81.0)\)[/tex], [tex]\((-1.9596, 74.1190)\)[/tex], [tex]\(\ldots\)[/tex], [tex]\((2, 0.0123)\)[/tex].
3. Unir los puntos: Con una curva suave, una todos los puntos. Recuerde que las funciones exponenciales crecen rápidamente, así que trate de reflejar eso en su gráfico.
4. Repetir para las otras funciones: Siga el mismo procedimiento para [tex]\( f(x) = 2^{2x} \)[/tex], [tex]\( f(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \)[/tex], y [tex]\( f(x) = 3^{2x} \)[/tex].
5. Etiquetar: No olvide etiquetar cada gráfica con su respectiva función para evitar confusiones.
Esto proporcionará un conjunto de gráficos visuales que representan las funciones exponenciales dadas y cómo cambian conforme [tex]\( x \)[/tex] varía desde [tex]\(-2\)[/tex] hasta [tex]\( 2 \)[/tex].
