Answer :
برای یافتن چندجمله‌ای درونیاب تفاضلات تقسیم شده و تخمین مقدار [tex]\( f(1/2) \)[/tex]، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
### مرحله 1: ایجاد جدول تفاضلات تقسیم شده
ابتدا یک جدول برای ذخیره‌سازی تفاضلات تقسیم شده ایجاد می‌کنیم. چهار نقطه و چهار مقدار متناظر داریم:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f_i & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \end{array} \][/tex]
جدول تفاضلات تقسیم شده به شکل زیر شروع می‌شود:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 2: محاسبه تفاضلات تقسیم شده
#### ستون دوم (تفاضلات مرتبه اول):
[tex]\[ f[x_0, x_1] = \frac{f[x_1] - f[x_0]}{x_1 - x_0} = \frac{1.075 - 0.2}{-0.5 - (-1)} = \frac{0.875}{0.5} = 1.75 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2] = \frac{f[x_2] - f[x_1]}{x_2 - x_1} = \frac{1.2 - 1.075}{0 - (-0.5)} = \frac{0.125}{0.5} = 0.25 \][/tex]
[tex]\[ f[x_2, x_3] = \frac{f[x_3] - f[x_2]}{x_3 - x_2} = \frac{4.575 - 1.2}{1.5 - 0} = \frac{3.375}{1.5} = 2.25 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون سوم (تفاضلات مرتبه دوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0} = \frac{0.25 - 1.75}{0 - (-1)} = \frac{-1.5}{1} = -1.5 \][/tex]
[tex]\[ f[x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_2, x_3] - f[x_1, x_2]}{x_3 - x_1} = \frac{2.25 - 0.25}{1.5 - (-0.5)} = \frac{2.0}{2.0} = 1.0 \][/tex]
جدول به‌روز شده:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ 0 & 0 \\ 0 \\ \end{array} \][/tex]
#### ستون چهارم (تفاضلات مرتبه سوم):
[tex]\[ f[x_0, x_1, x_2, x_3] = \frac{f[x_1, x_2, x_3] - f[x_0, x_1, x_2]}{x_3 - x_0} = \frac{1.0 - (-1.5)}{1.5 - (-1)} = \frac{2.5}{2.5} = 1.0 \][/tex]
جدول نهایی:
[tex]\[ \begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & -1 & -0.5 & 0 & 1.5 \\ \hline f[x_i] & 0.2 & 1.075 & 1.2 & 4.575 \\ f[x_i, x_{i+1}] & 1.75 & 0.25 & 2.25 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] & -1.5 & 1.0 \\ f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}, x_{i+3}] & 1.0 \\ \end{array} \][/tex]
### مرحله 3: تشکیل چندجمله‌ای و تخمین [tex]\( f(1/2) \)[/tex]
چندجمله‌ای نیوتن به صورت زیر است:
[tex]\[ P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + f[x_0, x_1, x_2, x_3](x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \][/tex]
مقادیر محاسبه شده را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P(x) = 0.2 + 1.75(x + 1) - 1.5(x + 1)(x + 0.5) + 1.0(x + 1)(x + 0.5)x \][/tex]
اکنون [tex]\( x = \frac{1}{2} \)[/tex] را جایگزین می‌کنیم:
[tex]\[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0.2 + 1.75\left(\frac{1}{2} + 1\right) - 1.5\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right) + 1.0\left(\frac{1}{2} + 1\right)\left(\frac{1}{2} + 0.5\right)\left(\frac{1}{2}\right) \][/tex]
نتیجه‌ی نهایی تخمین:
[tex]\[ f\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1.325 \][/tex]
بنابراین، مقدار تخمینی [tex]\( f(1/2) \)[/tex] برابر با [tex]\( 1.325 \)[/tex] است.
