Answer :
Para encontrar cuántos términos tiene la sucesión aritmética que comienza con 32 y termina en 275, con una diferencia común entre cada término, seguiremos estos pasos:
1. Identificar el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) y el último término ([tex]\(a_n\)[/tex]) de la sucesión:
- Primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]): 32
- Último término ([tex]\(a_n\)[/tex]): 275
2. Determinar la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) entre los términos consecutivos de la sucesión:
- Segundo término: 35
- Diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) = segundo término - primer término = 35 - 32 = 3
3. Utilizar la fórmula del término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo de una sucesión aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \][/tex]
donde:
- [tex]\(a_n\)[/tex] es el último término (275)
- [tex]\(a_1\)[/tex] es el primer término (32)
- [tex]\(d\)[/tex] es la diferencia común (3)
- [tex]\(n\)[/tex] es el número de términos que queremos encontrar.
4. Reorganizar la fórmula para resolverla para [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \][/tex]
5. Sustituir los valores conocidos en la fórmula:
[tex]\[ n = \frac{275 - 32}{3} + 1 \][/tex]
6. Calcular [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{243}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ n = 81 + 1 \][/tex]
[tex]\[ n = 82 \][/tex]
Por lo tanto, la sucesión contiene 82 términos.
1. Identificar el primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]) y el último término ([tex]\(a_n\)[/tex]) de la sucesión:
- Primer término ([tex]\(a_1\)[/tex]): 32
- Último término ([tex]\(a_n\)[/tex]): 275
2. Determinar la diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) entre los términos consecutivos de la sucesión:
- Segundo término: 35
- Diferencia común ([tex]\(d\)[/tex]) = segundo término - primer término = 35 - 32 = 3
3. Utilizar la fórmula del término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo de una sucesión aritmética:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \][/tex]
donde:
- [tex]\(a_n\)[/tex] es el último término (275)
- [tex]\(a_1\)[/tex] es el primer término (32)
- [tex]\(d\)[/tex] es la diferencia común (3)
- [tex]\(n\)[/tex] es el número de términos que queremos encontrar.
4. Reorganizar la fórmula para resolverla para [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \][/tex]
5. Sustituir los valores conocidos en la fórmula:
[tex]\[ n = \frac{275 - 32}{3} + 1 \][/tex]
6. Calcular [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = \frac{243}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ n = 81 + 1 \][/tex]
[tex]\[ n = 82 \][/tex]
Por lo tanto, la sucesión contiene 82 términos.
