Answer :
Para resolver la ecuación:
[tex]\[ -9 \cos 45^{\circ} \sec 80^{\circ} + 7 \csc 30^{\circ} = \csc^2 45^{\circ} + 4 \cos^2 30^{\circ} \][/tex]
vamos a descomponerla y analizar ambos lados por separado.
### Lado izquierdo (LHS):
Primero, encontramos los valores de las funciones trigonométricas:
[tex]\[ \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
[tex]\[ \sec 80^{\circ} = \frac{1}{\cos 80^{\circ}} \][/tex]
[tex]\[ \csc 30^{\circ} = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \][/tex]
Sustituimos estos valores en el lado izquierdo:
[tex]\[ LHS = -9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \sec 80^{\circ} + 7 \times 2 \][/tex]
[tex]\[ LHS = -9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{1}{\cos 80^{\circ}} + 14 \][/tex]
### Lado derecho (RHS):
De manera similar, calculamos las funciones trigonométricas en el lado derecho:
[tex]\[ \csc 45^{\circ} = \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ \csc^2 45^{\circ} = (\sqrt{2})^2 = 2 \][/tex]
[tex]\[ \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2 30^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \][/tex]
Sustituimos estos valores en el lado derecho:
[tex]\[ RHS = 2 + 4 \left(\frac{3}{4}\right) \][/tex]
[tex]\[ RHS = 2 + 4 \times \frac{3}{4} \][/tex]
[tex]\[ RHS = 2 + 3 \][/tex]
[tex]\[ RHS = 5 \][/tex]
### Comparando ambos lados:
Para que la ecuación sea verdadera, LHS debe ser equivalente a RHS. Evaluemos entonces el valor numérico del LHS ahora que tenemos los valores:
[tex]\[ LHS = -9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{1}{\cos 80^{\circ}} + 14 \][/tex]
Sabemos que las funciones trigonométricas y otras simplificaciones llevarían a un resultado exacto. Sin embargo, el resultado de nuestro procedimiento nos mostró que LHS no es igual a RHS.
Por lo tanto:
[tex]\[ -9 \cos 45^{\circ} \sec 80^{\circ} + 7 \csc 30^{\circ} \neq \csc^2 45^{\circ} + 4 \cos^2 30^{\circ} \][/tex]
Dado que la igualdad no se cumple, la solución para [tex]\( x \)[/tex] que hace que la ecuación sea correcta no existe. Por lo tanto, la respuesta es:
[tex]\[ \boxed{\text{None}} \][/tex]
Sin embargo, ya que las opciones dadas no tienen None y podrían indicar un error en interpretación, pero vista la evaluación realizada, ninguna de las opciones dadas cumple con la ecuación original.
[tex]\[ -9 \cos 45^{\circ} \sec 80^{\circ} + 7 \csc 30^{\circ} = \csc^2 45^{\circ} + 4 \cos^2 30^{\circ} \][/tex]
vamos a descomponerla y analizar ambos lados por separado.
### Lado izquierdo (LHS):
Primero, encontramos los valores de las funciones trigonométricas:
[tex]\[ \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
[tex]\[ \sec 80^{\circ} = \frac{1}{\cos 80^{\circ}} \][/tex]
[tex]\[ \csc 30^{\circ} = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \][/tex]
Sustituimos estos valores en el lado izquierdo:
[tex]\[ LHS = -9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \sec 80^{\circ} + 7 \times 2 \][/tex]
[tex]\[ LHS = -9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{1}{\cos 80^{\circ}} + 14 \][/tex]
### Lado derecho (RHS):
De manera similar, calculamos las funciones trigonométricas en el lado derecho:
[tex]\[ \csc 45^{\circ} = \frac{1}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \][/tex]
[tex]\[ \csc^2 45^{\circ} = (\sqrt{2})^2 = 2 \][/tex]
[tex]\[ \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \][/tex]
[tex]\[ \cos^2 30^{\circ} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \][/tex]
Sustituimos estos valores en el lado derecho:
[tex]\[ RHS = 2 + 4 \left(\frac{3}{4}\right) \][/tex]
[tex]\[ RHS = 2 + 4 \times \frac{3}{4} \][/tex]
[tex]\[ RHS = 2 + 3 \][/tex]
[tex]\[ RHS = 5 \][/tex]
### Comparando ambos lados:
Para que la ecuación sea verdadera, LHS debe ser equivalente a RHS. Evaluemos entonces el valor numérico del LHS ahora que tenemos los valores:
[tex]\[ LHS = -9 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \frac{1}{\cos 80^{\circ}} + 14 \][/tex]
Sabemos que las funciones trigonométricas y otras simplificaciones llevarían a un resultado exacto. Sin embargo, el resultado de nuestro procedimiento nos mostró que LHS no es igual a RHS.
Por lo tanto:
[tex]\[ -9 \cos 45^{\circ} \sec 80^{\circ} + 7 \csc 30^{\circ} \neq \csc^2 45^{\circ} + 4 \cos^2 30^{\circ} \][/tex]
Dado que la igualdad no se cumple, la solución para [tex]\( x \)[/tex] que hace que la ecuación sea correcta no existe. Por lo tanto, la respuesta es:
[tex]\[ \boxed{\text{None}} \][/tex]
Sin embargo, ya que las opciones dadas no tienen None y podrían indicar un error en interpretación, pero vista la evaluación realizada, ninguna de las opciones dadas cumple con la ecuación original.
