Answer :
ज़रूर! हम दिए गए अवकल समीकरण [tex]\(2 x\left(y x^{x^2}-1\right) \, dx + e^{x^2} \, dy = 0\)[/tex] की यथार्थता (exactness) की जांच करेंगे।
एक अवकल समीकरण [tex]\( M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0 \)[/tex] तब यथार्थ होता है जब निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \][/tex]
इसे ध्यान में रखते हुए, सबसे पहले [tex]\( M \)[/tex] और [tex]\( N \)[/tex] को पहचानते हैं:
[tex]\[ M(x, y) = 2 x\left(y x^{x^2}-1\right) \][/tex]
[tex]\[ N(x, y) = e^{x^2} \][/tex]
अब हम [tex]\( M \)[/tex] को [tex]\( y \)[/tex] के सापेक्ष आंशिक अवकलज निकालते हैं:
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2 x (y x^{x^2} - 1) \right) \][/tex]
यहाँ पर केवल [tex]\( y \)[/tex] वाले पद का अवकलज निकालना है, तो हमें मिलता है:
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot x^{x^2} = 2 x^{x^2 + 1} \][/tex]
अब हम [tex]\( N \)[/tex] को [tex]\( x \)[/tex] के सापेक्ष आंशिक अवकलज निकालते हैं:
[tex]\[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{x^2} \right) \][/tex]
चूंकि [tex]\( e^{x^2} \)[/tex] का अवकलज निकालने पर हमें जंजीरी नियम (chain rule) का प्रयोग करना होगा:
[tex]\[ \frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2} \][/tex]
अतः,
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{x^2 + 1} \][/tex]
[tex]\[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x \cdot e^{x^2} \][/tex]
ध्यान दीजिए कि [tex]\(\frac{\partial M}{\partial y}\)[/tex] तथा [tex]\(\frac{\partial N}{\partial x}\)[/tex] एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।
अतः, आंशिक अवकलज सामान नहीं हैं, इसलिए दिया गया अवकल समीकरण यथार्थ नहीं है।
निष्कर्षस्वरूप, अवकल समीकरण [tex]\(2 x\left(y x^{x^2}-1\right) \, dx + e^{x^2} \, dy = 0\)[/tex] यथार्थ नहीं है।
एक अवकल समीकरण [tex]\( M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0 \)[/tex] तब यथार्थ होता है जब निम्नलिखित शर्त पूरी होती है:
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \][/tex]
इसे ध्यान में रखते हुए, सबसे पहले [tex]\( M \)[/tex] और [tex]\( N \)[/tex] को पहचानते हैं:
[tex]\[ M(x, y) = 2 x\left(y x^{x^2}-1\right) \][/tex]
[tex]\[ N(x, y) = e^{x^2} \][/tex]
अब हम [tex]\( M \)[/tex] को [tex]\( y \)[/tex] के सापेक्ष आंशिक अवकलज निकालते हैं:
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( 2 x (y x^{x^2} - 1) \right) \][/tex]
यहाँ पर केवल [tex]\( y \)[/tex] वाले पद का अवकलज निकालना है, तो हमें मिलता है:
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot x^{x^2} = 2 x^{x^2 + 1} \][/tex]
अब हम [tex]\( N \)[/tex] को [tex]\( x \)[/tex] के सापेक्ष आंशिक अवकलज निकालते हैं:
[tex]\[ \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{x^2} \right) \][/tex]
चूंकि [tex]\( e^{x^2} \)[/tex] का अवकलज निकालने पर हमें जंजीरी नियम (chain rule) का प्रयोग करना होगा:
[tex]\[ \frac{\partial N}{\partial x} = e^{x^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x \cdot e^{x^2} \][/tex]
अतः,
[tex]\[ \frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{x^2 + 1} \][/tex]
[tex]\[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x \cdot e^{x^2} \][/tex]
ध्यान दीजिए कि [tex]\(\frac{\partial M}{\partial y}\)[/tex] तथा [tex]\(\frac{\partial N}{\partial x}\)[/tex] एक दूसरे के बराबर नहीं हैं।
अतः, आंशिक अवकलज सामान नहीं हैं, इसलिए दिया गया अवकल समीकरण यथार्थ नहीं है।
निष्कर्षस्वरूप, अवकल समीकरण [tex]\(2 x\left(y x^{x^2}-1\right) \, dx + e^{x^2} \, dy = 0\)[/tex] यथार्थ नहीं है।
