Answer :
Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar el valor de [tex]\(a + b\)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Ecuaciones dadas:
[tex]\[ \begin{array}{l} a - b = 3 \\ a \cdot b = 2 \end{array} \][/tex]
2. Expresión para [tex]\(a\)[/tex]: De la primera ecuación, podemos despejar [tex]\(a\)[/tex] en términos de [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ a = b + 3 \][/tex]
3. Sustitución en la segunda ecuación: Sustituimos [tex]\(a = b + 3\)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[ (b + 3) \cdot b = 2 \][/tex]
4. Expansión y reordenación: Expandiendo y reordenando la ecuación obtenemos:
[tex]\[ b^2 + 3b - 2 = 0 \][/tex]
5. Resolver la ecuación cuadrática: Para resolver [tex]\(b^2 + 3b - 2 = 0\)[/tex], utilizamos la fórmula cuadrática [tex]\(b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\)[/tex], donde [tex]\(A = 1\)[/tex], [tex]\(B = 3\)[/tex], y [tex]\(C = -2\)[/tex]:
[tex]\[ b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \][/tex]
6. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \sqrt{3^2 + 8} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} \][/tex]
7. Soluciones para [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ b_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad b_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \][/tex]
8. Encontrar [tex]\(a\)[/tex] utilizando cada valor de [tex]\(b\)[/tex]:
Para [tex]\(b_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = b_1 + 3 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{-3 + \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \][/tex]
Para [tex]\(b_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ a_2 = b_2 + 3 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{-3 - \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \][/tex]
9. Sumar [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 + b_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} = \sqrt{17} \][/tex]
[tex]\[ a_2 + b_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} = -\sqrt{17} \][/tex]
Por lo tanto, los posibles valores para [tex]\(a + b\)[/tex] son [tex]\(\sqrt{17}\)[/tex] y [tex]\(-\sqrt{17}\)[/tex].
1. Ecuaciones dadas:
[tex]\[ \begin{array}{l} a - b = 3 \\ a \cdot b = 2 \end{array} \][/tex]
2. Expresión para [tex]\(a\)[/tex]: De la primera ecuación, podemos despejar [tex]\(a\)[/tex] en términos de [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ a = b + 3 \][/tex]
3. Sustitución en la segunda ecuación: Sustituimos [tex]\(a = b + 3\)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[ (b + 3) \cdot b = 2 \][/tex]
4. Expansión y reordenación: Expandiendo y reordenando la ecuación obtenemos:
[tex]\[ b^2 + 3b - 2 = 0 \][/tex]
5. Resolver la ecuación cuadrática: Para resolver [tex]\(b^2 + 3b - 2 = 0\)[/tex], utilizamos la fórmula cuadrática [tex]\(b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\)[/tex], donde [tex]\(A = 1\)[/tex], [tex]\(B = 3\)[/tex], y [tex]\(C = -2\)[/tex]:
[tex]\[ b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \][/tex]
6. Calculamos el discriminante:
[tex]\[ \sqrt{3^2 + 8} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} \][/tex]
7. Soluciones para [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ b_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad b_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \][/tex]
8. Encontrar [tex]\(a\)[/tex] utilizando cada valor de [tex]\(b\)[/tex]:
Para [tex]\(b_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 = b_1 + 3 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{-3 + \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \][/tex]
Para [tex]\(b_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\)[/tex]:
[tex]\[ a_2 = b_2 + 3 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{-3 - \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \][/tex]
9. Sumar [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[ a_1 + b_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} = \sqrt{17} \][/tex]
[tex]\[ a_2 + b_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} = -\sqrt{17} \][/tex]
Por lo tanto, los posibles valores para [tex]\(a + b\)[/tex] son [tex]\(\sqrt{17}\)[/tex] y [tex]\(-\sqrt{17}\)[/tex].
