Answer :
1. Encontrar la fórmula que relaciona los valores de entrada y salida:
Partimos de los datos proporcionados:
[tex]\[ \begin{array}{c|c} \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \][/tex]
Observamos que los valores de salida ([tex]$y$[/tex]) corresponden a una función lineal de los valores de entrada ([tex]$x$[/tex]). La forma de una función lineal es:
[tex]\[ y = ax + b \][/tex]
Para encontrar los coeficientes [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex], podemos utilizar dos pares de datos. Tomemos los puntos (1, 3) y (2, 5):
[tex]\[ \begin{cases} 3 = a \cdot 1 + b \\ 5 = a \cdot 2 + b \end{cases} \][/tex]
Resolviendo este sistema de ecuaciones:
1. [tex]\( 3 = a + b \)[/tex]
2. [tex]\( 5 = 2a + b \)[/tex]
Restando la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ (5 = 2a + b) - (3 = a + b) \implies 2 = a \implies a = 2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(a = 2\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ 3 = 2 \cdot 1 + b \implies 3 = 2 + b \implies b = 1 \][/tex]
Por lo tanto, la fórmula es:
[tex]\[ y = 2x + 1 \][/tex]
_Nota en el recuadro:_ La fórmula es [tex]\(y = 2x + 1\)[/tex].
2. Completar la tabla usando la fórmula:
Usamos la fórmula [tex]\(y = 2x + 1\)[/tex] para calcular los valores de salida:
[tex]\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{Valor de entrada} & -2.5 & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 1.2 & 1.5 & 2 \\ \hline \text{Valor de salida} & -4 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3.4 & 4 & 5 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Los valores calculados son:
[tex]\[ \begin{tabular}{|c|c|} \hline \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline -2.5 & -4 \\ \hline -1 & -1 \\ \hline -0.5 & 0 \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 0.5 & 2 \\ \hline 1.2 & 3.4 \\ \hline 1.5 & 4 \\ \hline 2 & 5 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]
3. Construcción de gráfica:
Utiliza la tabla completada para marcar los puntos en un plano cartesiano: (-2.5, -4), (-1, -1), (-0.5, 0), (0, 1), (0.5, 2), (1.2, 3.4), (1.5, 4), (2, 5). Luego, traza una línea recta que pase por todos estos puntos.
4. Comparación con la calculadora:
Grafica [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex] en tu calculadora y asegúrate de que los puntos de la gráfica coincidan con los calculados y trazados manualmente.
5. Uso de TRACE para examinar la gráfica y encontrar valores específicos:
[tex]\[ \begin{align*} &\text{Valor de } x \text{ cuando } y = -17: \\ -17 &= 2x + 1 \\ -18 &= 2x \\ x &= -9 \end{align*} \][/tex]
[tex]\[ \text{Valor de } y \text{ cuando } x = 0: \\ y = 2(0) + 1 = 1 \][/tex]
[tex]\[ \begin{align*} &\text{Valor de } x \text{ cuando } y = 0: \\ 0 &= 2x + 1 \\ -1 &= 2x \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} \][/tex]
Resumen:
[tex]\[ \begin{align*} x \text{ cuando } y = -17 & : -9 \\ y \text{ cuando } x = 0 & : 1 \\ x \text{ cuando } y = 0 & : -\frac{1}{2} \end{align*} \][/tex]
Partimos de los datos proporcionados:
[tex]\[ \begin{array}{c|c} \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline 1 & 3 \\ 2 & 5 \\ 3 & 7 \\ -2 & -3 \\ \end{array} \][/tex]
Observamos que los valores de salida ([tex]$y$[/tex]) corresponden a una función lineal de los valores de entrada ([tex]$x$[/tex]). La forma de una función lineal es:
[tex]\[ y = ax + b \][/tex]
Para encontrar los coeficientes [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex], podemos utilizar dos pares de datos. Tomemos los puntos (1, 3) y (2, 5):
[tex]\[ \begin{cases} 3 = a \cdot 1 + b \\ 5 = a \cdot 2 + b \end{cases} \][/tex]
Resolviendo este sistema de ecuaciones:
1. [tex]\( 3 = a + b \)[/tex]
2. [tex]\( 5 = 2a + b \)[/tex]
Restando la primera ecuación de la segunda:
[tex]\[ (5 = 2a + b) - (3 = a + b) \implies 2 = a \implies a = 2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\(a = 2\)[/tex] en la primera ecuación:
[tex]\[ 3 = 2 \cdot 1 + b \implies 3 = 2 + b \implies b = 1 \][/tex]
Por lo tanto, la fórmula es:
[tex]\[ y = 2x + 1 \][/tex]
_Nota en el recuadro:_ La fórmula es [tex]\(y = 2x + 1\)[/tex].
2. Completar la tabla usando la fórmula:
Usamos la fórmula [tex]\(y = 2x + 1\)[/tex] para calcular los valores de salida:
[tex]\[ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline \text{Valor de entrada} & -2.5 & -1 & -0.5 & 0 & 0.5 & 1.2 & 1.5 & 2 \\ \hline \text{Valor de salida} & -4 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3.4 & 4 & 5 \\ \hline \end{array} \][/tex]
Los valores calculados son:
[tex]\[ \begin{tabular}{|c|c|} \hline \text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\ \hline -2.5 & -4 \\ \hline -1 & -1 \\ \hline -0.5 & 0 \\ \hline 0 & 1 \\ \hline 0.5 & 2 \\ \hline 1.2 & 3.4 \\ \hline 1.5 & 4 \\ \hline 2 & 5 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]
3. Construcción de gráfica:
Utiliza la tabla completada para marcar los puntos en un plano cartesiano: (-2.5, -4), (-1, -1), (-0.5, 0), (0, 1), (0.5, 2), (1.2, 3.4), (1.5, 4), (2, 5). Luego, traza una línea recta que pase por todos estos puntos.
4. Comparación con la calculadora:
Grafica [tex]\( y = 2x + 1 \)[/tex] en tu calculadora y asegúrate de que los puntos de la gráfica coincidan con los calculados y trazados manualmente.
5. Uso de TRACE para examinar la gráfica y encontrar valores específicos:
[tex]\[ \begin{align*} &\text{Valor de } x \text{ cuando } y = -17: \\ -17 &= 2x + 1 \\ -18 &= 2x \\ x &= -9 \end{align*} \][/tex]
[tex]\[ \text{Valor de } y \text{ cuando } x = 0: \\ y = 2(0) + 1 = 1 \][/tex]
[tex]\[ \begin{align*} &\text{Valor de } x \text{ cuando } y = 0: \\ 0 &= 2x + 1 \\ -1 &= 2x \\ x &= -\frac{1}{2} \end{align*} \][/tex]
Resumen:
[tex]\[ \begin{align*} x \text{ cuando } y = -17 & : -9 \\ y \text{ cuando } x = 0 & : 1 \\ x \text{ cuando } y = 0 & : -\frac{1}{2} \end{align*} \][/tex]
