Answer :
Конечно, давайте решим эти задачи пошагово:
### Часть a
Нам нужно найти производную функции \(\frac{1}{(2+3x)^2}\).
1. Пусть \(u = (2 + 3x)\). Тогда наша функция перепишется как \(\frac{1}{u^2}\).
2. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и правилом цепочки:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{u^2}\right) = \frac{d}{du}\left(u^{-2}\right) \cdot \frac{du}{dx} \][/tex]
3. Найдём производную функции \(u^{-2}\) по \(u\):
[tex]\[ \frac{d}{du}\left(u^{-2}\right) = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3} \][/tex]
4. Теперь найдём производную \(u = 2 + 3x\) по \(x\):
[tex]\[ \frac{du}{dx} = 3 \][/tex]
5. Соединяя всё вместе, получаем:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(2+3x)^2}\right) = -\frac{2}{(2+3x)^3} \cdot 3 = -\frac{6}{(2+3x)^3} \][/tex]
Итак, производная функции \(\frac{1}{(2+3x)^2}\) равна:
[tex]\[ -\frac{6}{(2+3x)^3} \][/tex]
### Часть б
Нам нужно найти производную функции \(x^5 + x^3 + x\).
1. Разделим функцию на составляющие и найдём производные каждой из них:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x^5\right) = 5x^4 \][/tex]
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x^3\right) = 3x^2 \][/tex]
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x\right) = 1 \][/tex]
2. Теперь сложим найденные производные:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x^5 + x^3 + x\right) = 5x^4 + 3x^2 + 1 \][/tex]
Итак, производная функции \(x^5 + x^3 + x\) равна:
[tex]\[ 5x^4 + 3x^2 + 1 \][/tex]
Таким образом, мы нашли производные для обеих данных функций.
### Часть a
Нам нужно найти производную функции \(\frac{1}{(2+3x)^2}\).
1. Пусть \(u = (2 + 3x)\). Тогда наша функция перепишется как \(\frac{1}{u^2}\).
2. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и правилом цепочки:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{u^2}\right) = \frac{d}{du}\left(u^{-2}\right) \cdot \frac{du}{dx} \][/tex]
3. Найдём производную функции \(u^{-2}\) по \(u\):
[tex]\[ \frac{d}{du}\left(u^{-2}\right) = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3} \][/tex]
4. Теперь найдём производную \(u = 2 + 3x\) по \(x\):
[tex]\[ \frac{du}{dx} = 3 \][/tex]
5. Соединяя всё вместе, получаем:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{(2+3x)^2}\right) = -\frac{2}{(2+3x)^3} \cdot 3 = -\frac{6}{(2+3x)^3} \][/tex]
Итак, производная функции \(\frac{1}{(2+3x)^2}\) равна:
[tex]\[ -\frac{6}{(2+3x)^3} \][/tex]
### Часть б
Нам нужно найти производную функции \(x^5 + x^3 + x\).
1. Разделим функцию на составляющие и найдём производные каждой из них:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x^5\right) = 5x^4 \][/tex]
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x^3\right) = 3x^2 \][/tex]
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x\right) = 1 \][/tex]
2. Теперь сложим найденные производные:
[tex]\[ \frac{d}{dx}\left(x^5 + x^3 + x\right) = 5x^4 + 3x^2 + 1 \][/tex]
Итак, производная функции \(x^5 + x^3 + x\) равна:
[tex]\[ 5x^4 + 3x^2 + 1 \][/tex]
Таким образом, мы нашли производные для обеих данных функций.
