Answer :
Claro, veamos la secuencia \( 3, 5, 7, 9, 11, \ldots, a_n \) y cómo podemos encontrar una fórmula general para generar los términos de esta secuencia.
### Paso 1: Identificación de la secuencia
Observamos que esta es una secuencia aritmética, ya que la diferencia entre términos consecutivos es constante.
### Paso 2: Determinación de los parámetros
Para una secuencia aritmética, el primer término se denomina \( a_1 \) y la diferencia común se denota por \( d \).
- Primer término \( a_1 \): El primer término de la secuencia es \( 3 \).
- Diferencia común \( d \): La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es \( 2 \) (por ejemplo, \( 5 - 3 = 2 \)).
### Paso 3: Fórmula general
La fórmula para el término \( n \)-ésimo de una secuencia aritmética es:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \][/tex]
Donde:
- \( a_n \) es el término \( n \)-ésimo,
- \( a_1 \) es el primer término,
- \( n \) es la posición del término,
- \( d \) es la diferencia común.
### Paso 4: Aplicar la fórmula a las posiciones específicas
Utilizando la fórmula, podemos calcular los términos específicos solicitados:
#### Término en la posición 10:
[tex]\[ a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{10} = 3 + 9 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{10} = 3 + 18 \][/tex]
[tex]\[ a_{10} = 21 \][/tex]
#### Término en la posición 2010:
[tex]\[ a_{2010} = 3 + (2010 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{2010} = 3 + 2009 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{2010} = 3 + 4018 \][/tex]
[tex]\[ a_{2010} = 4021 \][/tex]
#### Término en la posición 310:
[tex]\[ a_{310} = 3 + (310 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{310} = 3 + 309 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{310} = 3 + 618 \][/tex]
[tex]\[ a_{310} = 621 \][/tex]
#### Término en la posición 40:
[tex]\[ a_{40} = 3 + (40 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{40} = 3 + 39 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{40} = 3 + 78 \][/tex]
[tex]\[ a_{40} = 81 \][/tex]
### Resumen de los resultados
Los términos a buscar en las posiciones correspondientes son:
- Término en la posición 10: \( a_{10} = 21 \)
- Término en la posición 2010: \( a_{2010} = 4021 \)
- Término en la posición 310: \( a_{310} = 621 \)
- Término en la posición 40: \( a_{40} = 81 \)
Estas son las respuestas correctas para los términos especificados en la secuencia dada.
Espero que esta explicación te haya sido útil y hayas comprendido cómo trabajar con secuencias aritméticas y cómo encontrar los términos en posiciones específicas utilizando la fórmula general.
### Paso 1: Identificación de la secuencia
Observamos que esta es una secuencia aritmética, ya que la diferencia entre términos consecutivos es constante.
### Paso 2: Determinación de los parámetros
Para una secuencia aritmética, el primer término se denomina \( a_1 \) y la diferencia común se denota por \( d \).
- Primer término \( a_1 \): El primer término de la secuencia es \( 3 \).
- Diferencia común \( d \): La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es \( 2 \) (por ejemplo, \( 5 - 3 = 2 \)).
### Paso 3: Fórmula general
La fórmula para el término \( n \)-ésimo de una secuencia aritmética es:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \][/tex]
Donde:
- \( a_n \) es el término \( n \)-ésimo,
- \( a_1 \) es el primer término,
- \( n \) es la posición del término,
- \( d \) es la diferencia común.
### Paso 4: Aplicar la fórmula a las posiciones específicas
Utilizando la fórmula, podemos calcular los términos específicos solicitados:
#### Término en la posición 10:
[tex]\[ a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{10} = 3 + 9 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{10} = 3 + 18 \][/tex]
[tex]\[ a_{10} = 21 \][/tex]
#### Término en la posición 2010:
[tex]\[ a_{2010} = 3 + (2010 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{2010} = 3 + 2009 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{2010} = 3 + 4018 \][/tex]
[tex]\[ a_{2010} = 4021 \][/tex]
#### Término en la posición 310:
[tex]\[ a_{310} = 3 + (310 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{310} = 3 + 309 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{310} = 3 + 618 \][/tex]
[tex]\[ a_{310} = 621 \][/tex]
#### Término en la posición 40:
[tex]\[ a_{40} = 3 + (40 - 1) \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{40} = 3 + 39 \cdot 2 \][/tex]
[tex]\[ a_{40} = 3 + 78 \][/tex]
[tex]\[ a_{40} = 81 \][/tex]
### Resumen de los resultados
Los términos a buscar en las posiciones correspondientes son:
- Término en la posición 10: \( a_{10} = 21 \)
- Término en la posición 2010: \( a_{2010} = 4021 \)
- Término en la posición 310: \( a_{310} = 621 \)
- Término en la posición 40: \( a_{40} = 81 \)
Estas son las respuestas correctas para los términos especificados en la secuencia dada.
Espero que esta explicación te haya sido útil y hayas comprendido cómo trabajar con secuencias aritméticas y cómo encontrar los términos en posiciones específicas utilizando la fórmula general.
