Answer :
Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
1. Identificación de la forma de la función cuadrática:
La función cuadrática general tiene la forma:
[tex]\[ f(x) = ax^2 + bx + c \][/tex]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes que debemos determinar.
2. Formar ecuaciones usando los puntos dados:
A partir de las calificaciones iniciales y finales proporcionadas, podemos formar las siguientes ecuaciones:
Para José, cuya calificación inicial es 0 y calificación final es 0:
[tex]\[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0 \][/tex]
Para Carlos, cuya calificación inicial es 10 y calificación final es 14:
[tex]\[ f(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 14 \implies 100a + 10b + c = 14 \][/tex]
Dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[ 100a + 10b = 14 \implies 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \][/tex]
Para Jazmín, cuya calificación inicial es 20 y calificación final es 20:
[tex]\[ f(20) = a(20)^2 + b(20) + c = 20 \implies 400a + 20b + c = 20 \][/tex]
De nuevo, dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[ 400a + 20b = 20 \implies 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \][/tex]
3. Resolución del sistema de ecuaciones:
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{cases} 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{cases} \][/tex]
Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 1:
[tex]\[ (10a + b) - (20a + b) = 1.4 - 1 \][/tex]
[tex]\[ -10a = 0.4 \implies a = -0.04 \][/tex]
Sustituimos \(a\) en la Ecuación 1:
[tex]\[ 10(-0.04) + b = 1.4 \][/tex]
[tex]\[ -0.4 + b = 1.4 \implies b = 1.8 \][/tex]
Entonces, los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) son:
[tex]\[ a = -0.04, \, b = 1.8, \, c = 0 \][/tex]
4. Calcular la calificación final de María:
La calificación inicial de María es 15, así que evaluamos \(f(15)\):
[tex]\[ f(15) = -0.04(15)^2 + 1.8(15) + 0 \][/tex]
[tex]\[ f(15) = -0.04(225) + 1.8(15) \][/tex]
[tex]\[ f(15) = -9 + 27 \][/tex]
[tex]\[ f(15) = 18 \][/tex]
Por lo tanto, la calificación final de María es:
[tex]\[ \boxed{18} \][/tex]
1. Identificación de la forma de la función cuadrática:
La función cuadrática general tiene la forma:
[tex]\[ f(x) = ax^2 + bx + c \][/tex]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes que debemos determinar.
2. Formar ecuaciones usando los puntos dados:
A partir de las calificaciones iniciales y finales proporcionadas, podemos formar las siguientes ecuaciones:
Para José, cuya calificación inicial es 0 y calificación final es 0:
[tex]\[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0 \][/tex]
Para Carlos, cuya calificación inicial es 10 y calificación final es 14:
[tex]\[ f(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 14 \implies 100a + 10b + c = 14 \][/tex]
Dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[ 100a + 10b = 14 \implies 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \][/tex]
Para Jazmín, cuya calificación inicial es 20 y calificación final es 20:
[tex]\[ f(20) = a(20)^2 + b(20) + c = 20 \implies 400a + 20b + c = 20 \][/tex]
De nuevo, dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[ 400a + 20b = 20 \implies 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \][/tex]
3. Resolución del sistema de ecuaciones:
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
[tex]\[ \begin{cases} 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \\ 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)} \end{cases} \][/tex]
Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 1:
[tex]\[ (10a + b) - (20a + b) = 1.4 - 1 \][/tex]
[tex]\[ -10a = 0.4 \implies a = -0.04 \][/tex]
Sustituimos \(a\) en la Ecuación 1:
[tex]\[ 10(-0.04) + b = 1.4 \][/tex]
[tex]\[ -0.4 + b = 1.4 \implies b = 1.8 \][/tex]
Entonces, los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) son:
[tex]\[ a = -0.04, \, b = 1.8, \, c = 0 \][/tex]
4. Calcular la calificación final de María:
La calificación inicial de María es 15, así que evaluamos \(f(15)\):
[tex]\[ f(15) = -0.04(15)^2 + 1.8(15) + 0 \][/tex]
[tex]\[ f(15) = -0.04(225) + 1.8(15) \][/tex]
[tex]\[ f(15) = -9 + 27 \][/tex]
[tex]\[ f(15) = 18 \][/tex]
Por lo tanto, la calificación final de María es:
[tex]\[ \boxed{18} \][/tex]
