Answer :
Claro, vamos a resolver cada una de las preguntas de manera detallada y paso a paso.
### Pregunta 9
La diagonal menor de un rombo es igual a 4 m y su diagonal mayor es igual a 3 veces la diagonal menor. ¿Cuál es el valor del área del rombo?
1. La diagonal menor (d1) mide 4 m.
2. La diagonal mayor (d2) es 3 veces la diagonal menor:
[tex]\[ d2 = 3 \times 4\text{ m} = 12\text{ m} \][/tex]
3. El área de un rombo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times d1 \times d2 \][/tex]
4. Sustituimos los valores:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 4\text{ m} \times 12\text{ m} = 24\text{ m}^2 \][/tex]
Entonces, el área del rombo es 24 m².
### Pregunta 10
¿Cuánto encaje se necesita para rodear un mantel rectangular que tiene 1,20 m de largo y 0,90 m de ancho?
1. La longitud del mantel es 1,20 m.
2. El ancho del mantel es 0,90 m.
3. El perímetro de un rectángulo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ P = 2 \times (L + A) \][/tex]
donde L es el largo y A es el ancho.
4. Sustituimos los valores:
[tex]\[ P = 2 \times (1,20\text{ m} + 0,90\text{ m}) = 2 \times 2,10\text{ m} = 4,20\text{ m} \][/tex]
Entonces, se necesita 4,20 m de encaje para rodear el mantel.
### Pregunta 11
Halla el área de los siguientes polígonos regulares:
a. Un pentágono regular de 4 cm de lado y 2,75 cm de apotema.
1. El área de un polígono regular se calcula con la fórmula:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times Perímetro \times Apotema \][/tex]
2. El perímetro (P) de un pentágono de lado 4 cm es:
[tex]\[ P = 5 \times 4\text{ cm} = 20\text{ cm} \][/tex]
3. Sustituimos los valores:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 20\text{ cm} \times 2,75\text{ cm} = 27,5\text{ cm}^2 \][/tex]
Entonces, el área del pentágono es 27,5 cm².
b. Un polígono con 1 = 32,7 cm; a = 22,8 cm; n = 5.
1. El valor de "1" representa la longitud de cada lado del polígono.
2. El perímetro del polígono es:
[tex]\[ P = n \times 1 = 5 \times 32,7\text{ cm} = 163,5\text{ cm} \][/tex]
3. El área del polígono es:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times P \times a \][/tex]
4. Sustituimos los valores:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 163,5\text{ cm} \times 22,8\text{ cm} = 1864,2\text{ cm}^2 \][/tex]
Entonces, el área del polígono es 1864,2 cm².
c. Un octágono de 8 cm de lado y 5,66 cm de apotema.
1. El perímetro (P) de un octágono de lado 8 cm es:
[tex]\[ P = 8 \times 8\text{ cm} = 64\text{ cm} \][/tex]
2. Sustituimos los valores en la fórmula del área:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 64\text{ cm} \times 5,66\text{ cm} = 181,12\text{ cm}^2 \][/tex]
Entonces, el área del octágono es 181,12 cm².
### Pregunta 12
El perímetro de un círculo es 85,65 m. ¿Cuánto mide el radio? ¿Cuál es el área del círculo?
1. El perímetro (o circunferencia) de un círculo se relaciona con el radio (r) mediante la fórmula:
[tex]\[ P = 2 \pi r \][/tex]
2. Despejamos el radio:
[tex]\[ r = \frac{P}{2 \pi} \][/tex]
3. Sustituimos el valor del perímetro:
[tex]\[ r = \frac{85,65\text{ m}}{2 \pi} \][/tex]
Sabemos que \(\pi \approx 3.1416\):
[tex]\[ r \approx \frac{85,65\text{ m}}{2 \times 3.1416} \approx 13,64\text{ m} \][/tex]
4. El área (A) del círculo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ A = \pi r^2 \][/tex]
5. Sustituimos el radio en la fórmula del área:
[tex]\[ A \approx 3,1416 \times (13,64\text{ m})^2 \approx 584,02\text{ m}^2 \][/tex]
Entonces, el radio del círculo es 13,64 m y el área del círculo es 584,02 m².
### Pregunta 9
La diagonal menor de un rombo es igual a 4 m y su diagonal mayor es igual a 3 veces la diagonal menor. ¿Cuál es el valor del área del rombo?
1. La diagonal menor (d1) mide 4 m.
2. La diagonal mayor (d2) es 3 veces la diagonal menor:
[tex]\[ d2 = 3 \times 4\text{ m} = 12\text{ m} \][/tex]
3. El área de un rombo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times d1 \times d2 \][/tex]
4. Sustituimos los valores:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 4\text{ m} \times 12\text{ m} = 24\text{ m}^2 \][/tex]
Entonces, el área del rombo es 24 m².
### Pregunta 10
¿Cuánto encaje se necesita para rodear un mantel rectangular que tiene 1,20 m de largo y 0,90 m de ancho?
1. La longitud del mantel es 1,20 m.
2. El ancho del mantel es 0,90 m.
3. El perímetro de un rectángulo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ P = 2 \times (L + A) \][/tex]
donde L es el largo y A es el ancho.
4. Sustituimos los valores:
[tex]\[ P = 2 \times (1,20\text{ m} + 0,90\text{ m}) = 2 \times 2,10\text{ m} = 4,20\text{ m} \][/tex]
Entonces, se necesita 4,20 m de encaje para rodear el mantel.
### Pregunta 11
Halla el área de los siguientes polígonos regulares:
a. Un pentágono regular de 4 cm de lado y 2,75 cm de apotema.
1. El área de un polígono regular se calcula con la fórmula:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times Perímetro \times Apotema \][/tex]
2. El perímetro (P) de un pentágono de lado 4 cm es:
[tex]\[ P = 5 \times 4\text{ cm} = 20\text{ cm} \][/tex]
3. Sustituimos los valores:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 20\text{ cm} \times 2,75\text{ cm} = 27,5\text{ cm}^2 \][/tex]
Entonces, el área del pentágono es 27,5 cm².
b. Un polígono con 1 = 32,7 cm; a = 22,8 cm; n = 5.
1. El valor de "1" representa la longitud de cada lado del polígono.
2. El perímetro del polígono es:
[tex]\[ P = n \times 1 = 5 \times 32,7\text{ cm} = 163,5\text{ cm} \][/tex]
3. El área del polígono es:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times P \times a \][/tex]
4. Sustituimos los valores:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 163,5\text{ cm} \times 22,8\text{ cm} = 1864,2\text{ cm}^2 \][/tex]
Entonces, el área del polígono es 1864,2 cm².
c. Un octágono de 8 cm de lado y 5,66 cm de apotema.
1. El perímetro (P) de un octágono de lado 8 cm es:
[tex]\[ P = 8 \times 8\text{ cm} = 64\text{ cm} \][/tex]
2. Sustituimos los valores en la fórmula del área:
[tex]\[ A = \frac{1}{2} \times 64\text{ cm} \times 5,66\text{ cm} = 181,12\text{ cm}^2 \][/tex]
Entonces, el área del octágono es 181,12 cm².
### Pregunta 12
El perímetro de un círculo es 85,65 m. ¿Cuánto mide el radio? ¿Cuál es el área del círculo?
1. El perímetro (o circunferencia) de un círculo se relaciona con el radio (r) mediante la fórmula:
[tex]\[ P = 2 \pi r \][/tex]
2. Despejamos el radio:
[tex]\[ r = \frac{P}{2 \pi} \][/tex]
3. Sustituimos el valor del perímetro:
[tex]\[ r = \frac{85,65\text{ m}}{2 \pi} \][/tex]
Sabemos que \(\pi \approx 3.1416\):
[tex]\[ r \approx \frac{85,65\text{ m}}{2 \times 3.1416} \approx 13,64\text{ m} \][/tex]
4. El área (A) del círculo se calcula con la fórmula:
[tex]\[ A = \pi r^2 \][/tex]
5. Sustituimos el radio en la fórmula del área:
[tex]\[ A \approx 3,1416 \times (13,64\text{ m})^2 \approx 584,02\text{ m}^2 \][/tex]
Entonces, el radio del círculo es 13,64 m y el área del círculo es 584,02 m².
