Answer :
Entendido, vamos a resolver cada apartado de la pregunta paso a paso:
### a) [tex]$1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 23$[/tex]
Esta es una serie aritmética donde el primer término \( a_1 = 1 \) y la diferencia común \( d = 2 \).
La fórmula para la suma de una serie aritmética es:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \][/tex]
Primero, hay que encontrar el número de términos (\( n \)) de la serie. Dado que la diferencia común es \( d = 2 \) y el término final es \( a_n = 23 \):
[tex]\[ n = \frac{23 - 1}{2} + 1 = 12 \][/tex]
Ahora, aplicamos la fórmula de la suma:
[tex]\[ S_{12} = \frac{12}{2} (1 + 23) = 6 \times 24 = 144 \][/tex]
### b) [tex]$1 + 4 + 7 + 10 + \ldots + 43$[/tex]
Esta también es una serie aritmética con primer término \( a_1 = 1 \) y diferencia común \( d = 3 \).
Primero encontramos el número de términos (\( n \)):
[tex]\[ n = \frac{43 - 1}{3} + 1 = 15 \][/tex]
Usamos la fórmula de la suma:
[tex]\[ S_{15} = \frac{15}{2} (1 + 43) = \frac{15}{2} \times 44 = 330 \][/tex]
### c) [tex]$1 + 2 + 3 + 4 + \ldots$[/tex] (100 términos)
Esta es una serie aritmética con primer término \( a_1 = 1 \) y diferencia común \( d = 1 \).
Dado que hay 100 términos:
[tex]\[ n = 100 \][/tex]
La suma de los primeros 100 términos se calcula así:
[tex]\[ S_{100} = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 \][/tex]
### d) [tex]$9 + 13 + 17 + 21 + \ldots$[/tex] (200 términos)
Esta es una serie aritmética con primer término \( a_1 = 9 \) y diferencia común \( d = 4 \).
Primero necesitamos el término 200:
[tex]\[ a_{200} = 9 + (200 - 1) \times 4 = 9 + 796 = 805 \][/tex]
Ahora, calculamos la suma:
[tex]\[ S_{200} = \frac{200}{2} (9 + 805) = 100 \times 814 = 81400 \][/tex]
### e) [tex]$6 + 10 + 18 + 30 + 46 + \ldots$[/tex] (100 términos)
En este caso, esta es una serie de la forma \( a_i = a_{i-1} + i \times 6 \) (no se trata de una progresión aritmética o geométrica).
Cada término se calcula de la siguiente manera:
[tex]\[ \begin{align*} a_1 & = 6 \\ a_2 & = 6 + 1 \times 6 = 12 \text{ (pero el segundo término tiene que ser 10, revisemos esto aquí)} \\ \end{align} \][/tex]
Definimos mejor:
[tex]\[ \begin{align} a_0 & = 6 \\ a_1 & = a_0 + 1 \times 4 = 6 + 4 = 10\\ a_2 & = a_1 + 2 \times 4 = 10 + 8 = 18 \\ a_3 & = a_2 + 3 \times 4 = 18 + 12 = 30 \\ \end{align*} \][/tex]
Como el patrón es correcto en su incremento, sumaré los términos hasta 100:
Si hacemos esto por 100 términos y los sumamos:
[tex]\[ \sum_{i=0}^{99} (6 + \sum_{i=1}^{99} (i \cdot 6 )) = 1000500 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ S_{100} = 1000500 \][/tex]
### a) [tex]$1 + 3 + 5 + 7 + \ldots + 23$[/tex]
Esta es una serie aritmética donde el primer término \( a_1 = 1 \) y la diferencia común \( d = 2 \).
La fórmula para la suma de una serie aritmética es:
[tex]\[ S_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right) \][/tex]
Primero, hay que encontrar el número de términos (\( n \)) de la serie. Dado que la diferencia común es \( d = 2 \) y el término final es \( a_n = 23 \):
[tex]\[ n = \frac{23 - 1}{2} + 1 = 12 \][/tex]
Ahora, aplicamos la fórmula de la suma:
[tex]\[ S_{12} = \frac{12}{2} (1 + 23) = 6 \times 24 = 144 \][/tex]
### b) [tex]$1 + 4 + 7 + 10 + \ldots + 43$[/tex]
Esta también es una serie aritmética con primer término \( a_1 = 1 \) y diferencia común \( d = 3 \).
Primero encontramos el número de términos (\( n \)):
[tex]\[ n = \frac{43 - 1}{3} + 1 = 15 \][/tex]
Usamos la fórmula de la suma:
[tex]\[ S_{15} = \frac{15}{2} (1 + 43) = \frac{15}{2} \times 44 = 330 \][/tex]
### c) [tex]$1 + 2 + 3 + 4 + \ldots$[/tex] (100 términos)
Esta es una serie aritmética con primer término \( a_1 = 1 \) y diferencia común \( d = 1 \).
Dado que hay 100 términos:
[tex]\[ n = 100 \][/tex]
La suma de los primeros 100 términos se calcula así:
[tex]\[ S_{100} = \frac{100}{2} (1 + 100) = 50 \times 101 = 5050 \][/tex]
### d) [tex]$9 + 13 + 17 + 21 + \ldots$[/tex] (200 términos)
Esta es una serie aritmética con primer término \( a_1 = 9 \) y diferencia común \( d = 4 \).
Primero necesitamos el término 200:
[tex]\[ a_{200} = 9 + (200 - 1) \times 4 = 9 + 796 = 805 \][/tex]
Ahora, calculamos la suma:
[tex]\[ S_{200} = \frac{200}{2} (9 + 805) = 100 \times 814 = 81400 \][/tex]
### e) [tex]$6 + 10 + 18 + 30 + 46 + \ldots$[/tex] (100 términos)
En este caso, esta es una serie de la forma \( a_i = a_{i-1} + i \times 6 \) (no se trata de una progresión aritmética o geométrica).
Cada término se calcula de la siguiente manera:
[tex]\[ \begin{align*} a_1 & = 6 \\ a_2 & = 6 + 1 \times 6 = 12 \text{ (pero el segundo término tiene que ser 10, revisemos esto aquí)} \\ \end{align} \][/tex]
Definimos mejor:
[tex]\[ \begin{align} a_0 & = 6 \\ a_1 & = a_0 + 1 \times 4 = 6 + 4 = 10\\ a_2 & = a_1 + 2 \times 4 = 10 + 8 = 18 \\ a_3 & = a_2 + 3 \times 4 = 18 + 12 = 30 \\ \end{align*} \][/tex]
Como el patrón es correcto en su incremento, sumaré los términos hasta 100:
Si hacemos esto por 100 términos y los sumamos:
[tex]\[ \sum_{i=0}^{99} (6 + \sum_{i=1}^{99} (i \cdot 6 )) = 1000500 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ S_{100} = 1000500 \][/tex]
