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4) Hallar el valor de "a" para que [tex]z[/tex] sea un número real.
[tex]\[
z = \frac{3 + ai}{1 + i} = \frac{3 + ai}{1 + i} \left( \frac{-1 - i}{-1 - i} \right) = \frac{(3 + ai)(-1 - i)}{(1 + i)(-1 - i)} = \frac{-3 - 3i - ai - a(-i^2)}{1 - (-1)^2} = \frac{-3 - (a+3)i - a}{2}
\][/tex]

Para que [tex]z[/tex] sea un número real, la parte imaginaria debe ser igual a 0:
[tex]\[
-(a + 3) = 0 \implies a = -3
\][/tex]

Por lo tanto, el valor de "a" para que [tex]z[/tex] sea un número real es [tex]a = -3[/tex].



Answer :

GinnyAnswer
Para encontrar el valor de [tex]\( a \)[/tex] para que el número [tex]\( z \)[/tex] sea un número real, empezamos con la división del número complejo [tex]\( \frac{3 + ai}{1 + i} \)[/tex]. Este tipo de división se simplifica multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.

Primero, recordemos que el conjugado de [tex]\( 1 + i \)[/tex] es [tex]\( 1 - i \)[/tex].

Entonces:

[tex]\[ \frac{3 + ai}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} \][/tex]

Simplifiquemos el numerador y el denominador por separado:

Numerador:

[tex]\[ (3 + ai)(1 - i) = 3(1 - i) + ai(1 - i) \][/tex]

[tex]\[ = 3 - 3i + ai(1 - i) \][/tex]

Distribuimos [tex]\( ai \)[/tex]:

[tex]\[ = 3 - 3i + ai - a i^2 \][/tex]

Sabemos que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex], entonces [tex]\( -a i^2 = a \)[/tex]:

[tex]\[ = 3 - 3i + ai + a \][/tex]

[tex]\[ = (3 + a) + (a - 3)i \][/tex]

Denominador:

[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 \][/tex]

[tex]\[ = 1 - i^2 \][/tex]

[tex]\[ = 1 + 1 = 2 \][/tex]

Entonces, el número complejo [tex]\( \frac{3 + ai}{1 + i} \)[/tex] se convierte en:

[tex]\[ \frac{(3 + a) + (a - 3)i}{2} \][/tex]

Para que este número sea real, necesitamos que la parte imaginaria sea cero. Por lo tanto, la parte imaginaria [tex]\(\frac{a - 3}{2}\)[/tex] debe ser igual a cero:

[tex]\[ \frac{a - 3}{2} = 0 \][/tex]

Multiplicamos ambos lados por 2:

[tex]\[ a - 3 = 0 \][/tex]

Sumamos 3 a ambos lados:

[tex]\[ a = 3 \][/tex]

Por lo tanto, el valor de [tex]\( a \)[/tex] que hace que [tex]\( z \)[/tex] sea un número real es [tex]\( a = 3 \)[/tex].

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