Answer :
Claro, vamos a graficar la función [tex]\( y = -2 \ln(x + 8) \)[/tex] manualmente y describir el proceso paso a paso:
### Paso 1: Analizar la función
La función es [tex]\( y = -2 \ln(x + 8) \)[/tex]. Vamos a analizar sus características principales:
1. Dominio: El argumento del logaritmo natural ([tex]\( \ln \)[/tex]) debe ser positivo, es decir:
[tex]\[ x + 8 > 0 \implies x > -8 \][/tex]
Por lo tanto, el dominio de esta función es [tex]\( x > -8 \)[/tex].
2. Comportamiento asintótico:
- Cuando [tex]\( x \to -8^+ \)[/tex] (es decir, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a -8 desde la derecha), [tex]\( y \to -\infty \)[/tex] porque [tex]\( \ln(x + 8) \to -\infty \)[/tex] y [tex]\(-2 \ln(x + 8)\)[/tex] también tiende a [tex]\(-\infty\)[/tex].
- A medida que [tex]\( x \)[/tex] se incrementa, [tex]\( \ln(x + 8) \)[/tex] también se incrementa, pero [tex]\(-2 \ln(x + 8)\)[/tex] disminuye, haciendo que la función tenga una pendiente negativa.
3. Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ y = -2 \ln(0 + 8) = -2 \ln(8) \][/tex]
### Paso 2: Puntos críticos y comportamiento
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(8) \approx -2 \times 2.08 = -4.16 \][/tex]
Por lo tanto, la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] es en el punto [tex]\( (0, -2 \ln(8)) \approx (0, -4.16) \)[/tex].
- Cálculo de valores específicos:
Para obtener una idea mejor sobre la forma de la gráfica, se puede calcular algunos puntos adicionales:
- Para [tex]\( x = -7 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(-7 + 8) = -2 \ln(1) = 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(1 + 8) = -2 \ln(9) \approx -2 \times 2.197 = -4.394 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(2 + 8) = -2 \ln(10) \approx -2 \times 2.303 = -4.606 \][/tex]
### Paso 3: Graficar la función
Ahora gráficaremos la función con los valores obtenidos:
1. En el eje [tex]\( x \)[/tex], marcamos el dominio [tex]\( x > -8 \)[/tex].
2. Anotamos los puntos clave:
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex]: [tex]\( (0, -4.16) \)[/tex]
- Punto cuando [tex]\( x = -7 \)[/tex]: [tex]\( (-7, 0) \)[/tex]
- Algunos puntos adicionales:
- [tex]\( (1, -4.394) \)[/tex]
- [tex]\( (2, -4.606) \)[/tex]
Dibujamos una curva que pase por estos puntos. Empezamos desde justo a la derecha de [tex]\( x = -8 \)[/tex] y la curva baja rápidamente hacia abajo a medida que [tex]\( x \)[/tex] se mueve de [tex]\( -8 \)[/tex] hacia valores más grandes.
### Comportamiento general de la gráfica:
- La gráfica tiene una asíntota vertical en [tex]\( x = -8 \)[/tex].
- Se intersecta con el eje [tex]\( y \)[/tex] en aproximadamente [tex]\( (0, -4.16) \)[/tex].
- A medida que [tex]\( x \)[/tex] crece, la gráfica sigue una curva descendente, acercándose lentamente al eje [tex]\( x \)[/tex].
De este modo, hemos trazado la gráfica de la función [tex]\( y = -2 \ln(x + 8) \)[/tex].
Recuerda siempre verificar el dominio y el comportamiento asintótico para funciones logarítmicas y exponenciales.
### Paso 1: Analizar la función
La función es [tex]\( y = -2 \ln(x + 8) \)[/tex]. Vamos a analizar sus características principales:
1. Dominio: El argumento del logaritmo natural ([tex]\( \ln \)[/tex]) debe ser positivo, es decir:
[tex]\[ x + 8 > 0 \implies x > -8 \][/tex]
Por lo tanto, el dominio de esta función es [tex]\( x > -8 \)[/tex].
2. Comportamiento asintótico:
- Cuando [tex]\( x \to -8^+ \)[/tex] (es decir, [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a -8 desde la derecha), [tex]\( y \to -\infty \)[/tex] porque [tex]\( \ln(x + 8) \to -\infty \)[/tex] y [tex]\(-2 \ln(x + 8)\)[/tex] también tiende a [tex]\(-\infty\)[/tex].
- A medida que [tex]\( x \)[/tex] se incrementa, [tex]\( \ln(x + 8) \)[/tex] también se incrementa, pero [tex]\(-2 \ln(x + 8)\)[/tex] disminuye, haciendo que la función tenga una pendiente negativa.
3. Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] (cuando [tex]\( x = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ y = -2 \ln(0 + 8) = -2 \ln(8) \][/tex]
### Paso 2: Puntos críticos y comportamiento
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(8) \approx -2 \times 2.08 = -4.16 \][/tex]
Por lo tanto, la intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex] es en el punto [tex]\( (0, -2 \ln(8)) \approx (0, -4.16) \)[/tex].
- Cálculo de valores específicos:
Para obtener una idea mejor sobre la forma de la gráfica, se puede calcular algunos puntos adicionales:
- Para [tex]\( x = -7 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(-7 + 8) = -2 \ln(1) = 0 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(1 + 8) = -2 \ln(9) \approx -2 \times 2.197 = -4.394 \][/tex]
- Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ y = -2 \ln(2 + 8) = -2 \ln(10) \approx -2 \times 2.303 = -4.606 \][/tex]
### Paso 3: Graficar la función
Ahora gráficaremos la función con los valores obtenidos:
1. En el eje [tex]\( x \)[/tex], marcamos el dominio [tex]\( x > -8 \)[/tex].
2. Anotamos los puntos clave:
- Intersección con el eje [tex]\( y \)[/tex]: [tex]\( (0, -4.16) \)[/tex]
- Punto cuando [tex]\( x = -7 \)[/tex]: [tex]\( (-7, 0) \)[/tex]
- Algunos puntos adicionales:
- [tex]\( (1, -4.394) \)[/tex]
- [tex]\( (2, -4.606) \)[/tex]
Dibujamos una curva que pase por estos puntos. Empezamos desde justo a la derecha de [tex]\( x = -8 \)[/tex] y la curva baja rápidamente hacia abajo a medida que [tex]\( x \)[/tex] se mueve de [tex]\( -8 \)[/tex] hacia valores más grandes.
### Comportamiento general de la gráfica:
- La gráfica tiene una asíntota vertical en [tex]\( x = -8 \)[/tex].
- Se intersecta con el eje [tex]\( y \)[/tex] en aproximadamente [tex]\( (0, -4.16) \)[/tex].
- A medida que [tex]\( x \)[/tex] crece, la gráfica sigue una curva descendente, acercándose lentamente al eje [tex]\( x \)[/tex].
De este modo, hemos trazado la gráfica de la función [tex]\( y = -2 \ln(x + 8) \)[/tex].
Recuerda siempre verificar el dominio y el comportamiento asintótico para funciones logarítmicas y exponenciales.
