Answer :
Para resolver el problema de encontrar los puntos críticos de la función [tex]\( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)[/tex], debemos seguir estos pasos:
### Paso 1: Hallar la derivada primera de la función
Para encontrar los puntos críticos, primero necesitamos calcular la derivada primera de la función [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 4x + 1) \][/tex]
Aplicando las reglas de derivación, tenemos:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 4 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los puntos críticos
Los puntos críticos se hallan resolviendo la ecuación cuando la derivada primera es igual a cero:
[tex]\[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \][/tex]
### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática
Esta es una ecuación cuadrática en forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Podemos usar la fórmula general para resolverla:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
- [tex]\( a = 3 \)[/tex]
- [tex]\( b = 4 \)[/tex]
- [tex]\( c = -4 \)[/tex]
Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 8}{6} \][/tex]
Esto produce dos soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos críticos se encuentran en [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Paso 4: Evaluar la función en los puntos críticos
Finalmente, debemos calcular el valor de la función [tex]\( y \)[/tex] en cada uno de los puntos críticos.
Para [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y \left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 4 \left( \frac{2}{3} \right) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + 2 \left( \frac{4}{9} \right) - \frac{8}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8 + 24 - 72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + \frac{27}{27} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-13}{27} \][/tex]
Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = -8 + 8 + 8 + 1 \][/tex]
[tex]\[ = 9 \][/tex]
### Resumen
Los puntos críticos de la función [tex]\( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)[/tex] son los siguientes:
- En [tex]\( x = -2 \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es 9.
- En [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( \frac{-13}{27} \)[/tex].
### Paso 1: Hallar la derivada primera de la función
Para encontrar los puntos críticos, primero necesitamos calcular la derivada primera de la función [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x^2 - 4x + 1) \][/tex]
Aplicando las reglas de derivación, tenemos:
[tex]\[ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 4 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los puntos críticos
Los puntos críticos se hallan resolviendo la ecuación cuando la derivada primera es igual a cero:
[tex]\[ 3x^2 + 4x - 4 = 0 \][/tex]
### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática
Esta es una ecuación cuadrática en forma estándar [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. Podemos usar la fórmula general para resolverla:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
- [tex]\( a = 3 \)[/tex]
- [tex]\( b = 4 \)[/tex]
- [tex]\( c = -4 \)[/tex]
Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-4)}}{2(3)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{6} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{-4 \pm 8}{6} \][/tex]
Esto produce dos soluciones:
[tex]\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \][/tex]
[tex]\[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \][/tex]
Por lo tanto, los puntos críticos se encuentran en [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex] y [tex]\( x = -2 \)[/tex].
### Paso 4: Evaluar la función en los puntos críticos
Finalmente, debemos calcular el valor de la función [tex]\( y \)[/tex] en cada uno de los puntos críticos.
Para [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y \left( \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right)^3 + 2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 - 4 \left( \frac{2}{3} \right) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + 2 \left( \frac{4}{9} \right) - \frac{8}{3} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8}{27} + \frac{8}{9} - \frac{72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{8 + 24 - 72}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + 1 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-40}{27} + \frac{27}{27} \][/tex]
[tex]\[ = \frac{-13}{27} \][/tex]
Para [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ y(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - 4(-2) + 1 \][/tex]
[tex]\[ = -8 + 8 + 8 + 1 \][/tex]
[tex]\[ = 9 \][/tex]
### Resumen
Los puntos críticos de la función [tex]\( y = x^3 + 2x^2 - 4x + 1 \)[/tex] son los siguientes:
- En [tex]\( x = -2 \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es 9.
- En [tex]\( x = \frac{2}{3} \)[/tex], el valor correspondiente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( \frac{-13}{27} \)[/tex].
