Al agregar un trozo de fósforo a bromo líquido, la reacción es inmediata y libera calor. Si se mezclan [tex]$5.00 \, \text{g}$[/tex] de [tex]$\text{P}_4$[/tex] (fósforo) con [tex]$40.5 \, \text{g}$[/tex] de [tex]$\text{Br}_2$[/tex] (bromo líquido),
[tex]\[
\text{P}_4 + 6\text{Br}_2 \longrightarrow 4\text{PBr}_3
\][/tex]

a) ¿Cuál es el reactivo limitante?

b) ¿Cuántos gramos de [tex]$\text{PBr}_3$[/tex] (tribromuro de fósforo) se forman?

c) ¿Cuántos gramos de reactivo en exceso quedaron al terminar la reacción?

d) Si la producción real es [tex]$37.5 \, \text{g}$[/tex] de [tex]$\text{PBr}_3$[/tex], ¿cuál es el porcentaje de rendimiento?

Claro, vamos a resolver paso a paso el problema.

Primero, identificamos los datos del problema:
- Masa de [tex]$ P_4 $[/tex]: 5.00 g
- Masa de [tex]$ Br_2 $[/tex]: 40.5 g
- Reacción: [tex]$ P_4 + 6Br_2 \rightarrow 4PBr_3 $[/tex]

a) Determinar el reactivo limitante:

1. Calcular las masas molares:
- Molaridad de [tex]$ P_4 $[/tex]: La masa molar del fósforo (P) es 30.97 g/mol. Para [tex]$ P_4 $[/tex]:
[tex]\[ \text{masa molar de } P_4 = 4 \times 30.97 = 123.88 \text{ g/mol} \][/tex]
- Molaridad de [tex]$ Br_2 $[/tex]: La masa molar del bromo (Br) es 79.904 g/mol. Para [tex]$ Br_2 $[/tex]:
[tex]\[ \text{masa molar de } Br_2 = 2 \times 79.904 = 159.808 \text{ g/mol} \][/tex]
- Molaridad de [tex]$ PBr_3 $[/tex]: La masa molar de [tex]$ PBr_3 $[/tex] se calcula sumando la masa de un átomo de fósforo y tres átomos de bromo.
[tex]\[ \text{masa molar de } PBr_3 = 30.97 + 3 \times 79.904 = 270.682 \text{ g/mol} \][/tex]

2. Calcular los moles de cada reactivo:
- Moles de [tex]$ P_4 $[/tex]:
[tex]\[ \text{moles de } P_4 = \frac{5.00 \text{ g}}{123.88 \text{ g/mol}} \approx 0.04037 \text{ mol} \][/tex]
- Moles de [tex]$ Br_2 $[/tex]:
[tex]\[ \text{moles de } Br_2 = \frac{40.5 \text{ g}}{159.808 \text{ g/mol}} \approx 0.25346 \text{ mol} \][/tex]

3. Determinar el reactivo limitante:
La reacción requiere 6 moles de [tex]$ Br_2 $[/tex] por cada mol de [tex]$ P_4 $[/tex]. Por lo tanto, necesitamos:
[tex]\[ 6 \times 0.04037 \text{ mol de } Br_2 \approx 0.24222 \text{ mol de } Br_2 \][/tex]
Comparando con los moles disponibles de [tex]$ Br_2 $[/tex]:
- [tex]$ Br_2 $[/tex] disponible: 0.25346 mol
- [tex]$ Br_2 $[/tex] requerido: 0.24222 mol

Dado que tenemos suficiente [tex]$ Br_2 $[/tex], el fósforo ([tex]$ P_4 $[/tex]) es el reactivo limitante.

b) Gramos de [tex]$ PBr_3 $[/tex] formados:

1. De la ecuación estequiométrica, 1 mol de [tex]$ P_4 $[/tex] produce 4 moles de [tex]$ PBr_3 $[/tex]:
[tex]\[ 0.04037 \text{ moles de } P_4 \times 4 \text{ mol } PBr_3/\text{mol } P_4 = 0.16148 \text{ mol de } PBr_3 \][/tex]

2. Convertir moles de [tex]$ PBr_3 $[/tex] a gramos:
[tex]\[ \text{masa de } PBr_3 = 0.16148 \text{ mol} \times 270.682 \text{ g/mol} \approx 43.70 \text{ g} \][/tex]

c) Gramos de reactivo en exceso:

1. Verificar moles de [tex]$ Br_2 $[/tex] utilizados:
[tex]\[ \text{moles de } Br_2 \text{ utilizados} = 6 \times 0.04037 \approx 0.24222 \text{ mol} \][/tex]

2. Calcular moles de [tex]$ Br_2 $[/tex] en exceso:
[tex]\[ \text{moles de } Br_2 \text{ en exceso} = 0.25346 - 0.24222 \approx 0.01124 \text{ mol} \][/tex]

3. Convertir moles de [tex]$ Br_2 $[/tex] en exceso a gramos:
[tex]\[ \text{masa de } Br_2 \text{ en exceso} = 0.01124 \text{ mol} \times 159.808 \text{ g/mol} \approx 1.80 \text{ g} \][/tex]

d) Porcentaje de rendimiento:

1. Producción teórica de PBr_3:
[tex]\[ 43.70 \text{ g} \][/tex]

2. Porcentaje de rendimiento:
[tex]\[ \text{rendimiento} = \left( \frac{37.5 \text{ g}}{43.7 \text{ g}} \right) \times 100 \approx 85.81\% \][/tex]

En resumen:
a) El reactivo limitante es [tex]$ P_4 $[/tex].
b) Se forman aproximadamente 43.70 gramos de [tex]$ PBr_3 $[/tex].
c) Quedan aproximadamente 1.80 gramos de [tex]$ Br_2 $[/tex] en exceso.
d) El porcentaje de rendimiento es aproximadamente 85.81%.