Answer :
Para resolver este problema, utilizaremos los principios de Pascal y la conservación de volumen. Aquí tenemos los datos dados:
- [tex]\( R_1 = 5 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( R_2 = 25 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( F_1 = 350 \, \text{N} \)[/tex]
- [tex]\( d_1 = 10 \, \text{cm} \)[/tex]
Primero, calculamos las áreas de los pistones:
[tex]\[ A_1 = \pi (R_1)^2 = \pi (5 \, \text{cm})^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \][/tex]
[tex]\[ A_2 = \pi (R_2)^2 = \pi (25 \, \text{cm})^2 = 625\pi \, \text{cm}^2 \][/tex]
Usando el principio de Pascal, la relación entre las fuerzas y las áreas de los pistones nos da:
[tex]\[ \frac{F_2}{A_2} = \frac{F_1}{A_1} \][/tex]
Despejamos [tex]\( F_2 \)[/tex]:
[tex]\[ F_2 = F_1 \frac{A_2}{A_1} \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ F_2 = 350 \, \text{N} \cdot \frac{625\pi \, \text{cm}^2}{25\pi \, \text{cm}^2} = 350 \, \text{N} \cdot 25 = 8750 \, \text{N} \][/tex]
Ahora, para calcular la altura que recorre el pistón mayor [tex]\( d_2 \)[/tex], utilizamos la conservación del volumen. El volumen desplazado por el pistón pequeño es igual al volumen desplazado por el pistón mayor:
[tex]\[ A_1 \cdot d_1 = A_2 \cdot d_2 \][/tex]
Despejamos [tex]\( d_2 \)[/tex]:
[tex]\[ d_2 = \frac{A_1 \cdot d_1}{A_2} \][/tex]
Sustituimos las áreas y la distancia:
[tex]\[ d_2 = \frac{25\pi \, \text{cm}^2 \cdot 10 \, \text{cm}}{625\pi \, \text{cm}^2} = \frac{250\pi \, \text{cm}^3}{625\pi \, \text{cm}^2} = 0.4 \, \text{cm} \][/tex]
Por lo tanto, la fuerza que se obtiene en el pistón mayor es 8750 N y la altura que recorre el pistón mayor es 0.4 cm. La respuesta correcta es:
d) [tex]\(8750 \, \text{N} ; 0.4 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( R_1 = 5 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( R_2 = 25 \, \text{cm} \)[/tex]
- [tex]\( F_1 = 350 \, \text{N} \)[/tex]
- [tex]\( d_1 = 10 \, \text{cm} \)[/tex]
Primero, calculamos las áreas de los pistones:
[tex]\[ A_1 = \pi (R_1)^2 = \pi (5 \, \text{cm})^2 = 25\pi \, \text{cm}^2 \][/tex]
[tex]\[ A_2 = \pi (R_2)^2 = \pi (25 \, \text{cm})^2 = 625\pi \, \text{cm}^2 \][/tex]
Usando el principio de Pascal, la relación entre las fuerzas y las áreas de los pistones nos da:
[tex]\[ \frac{F_2}{A_2} = \frac{F_1}{A_1} \][/tex]
Despejamos [tex]\( F_2 \)[/tex]:
[tex]\[ F_2 = F_1 \frac{A_2}{A_1} \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ F_2 = 350 \, \text{N} \cdot \frac{625\pi \, \text{cm}^2}{25\pi \, \text{cm}^2} = 350 \, \text{N} \cdot 25 = 8750 \, \text{N} \][/tex]
Ahora, para calcular la altura que recorre el pistón mayor [tex]\( d_2 \)[/tex], utilizamos la conservación del volumen. El volumen desplazado por el pistón pequeño es igual al volumen desplazado por el pistón mayor:
[tex]\[ A_1 \cdot d_1 = A_2 \cdot d_2 \][/tex]
Despejamos [tex]\( d_2 \)[/tex]:
[tex]\[ d_2 = \frac{A_1 \cdot d_1}{A_2} \][/tex]
Sustituimos las áreas y la distancia:
[tex]\[ d_2 = \frac{25\pi \, \text{cm}^2 \cdot 10 \, \text{cm}}{625\pi \, \text{cm}^2} = \frac{250\pi \, \text{cm}^3}{625\pi \, \text{cm}^2} = 0.4 \, \text{cm} \][/tex]
Por lo tanto, la fuerza que se obtiene en el pistón mayor es 8750 N y la altura que recorre el pistón mayor es 0.4 cm. La respuesta correcta es:
d) [tex]\(8750 \, \text{N} ; 0.4 \, \text{cm} \)[/tex]
