Answer :
¡Claro! Vamos a resolver la ecuación paso a paso.
Para resolver la ecuación:
[tex]\[ 3x(x + 1) - x(x + 4) = x(x + 5) + (y + 7) \][/tex]
1. Expandimos ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ 3x(x + 1) - x(x + 4) = x(x + 5) + (y + 7) \][/tex]
Lado izquierdo:
[tex]\[ 3x(x + 1) - x(x + 4) \][/tex]
[tex]\[ 3x^2 + 3x - x^2 - 4x \][/tex]
[tex]\[ 3x^2 - x^2 + 3x - 4x = 2x^2 - x \][/tex]
Lado derecho:
[tex]\[ x(x + 5) + (y + 7) \][/tex]
[tex]\[ x^2 + 5x + y + 7 \][/tex]
Entonces, la ecuación expandida es:
[tex]\[ 2x^2 - x = x^2 + 5x + y + 7 \][/tex]
2. Mover todos los términos al lado izquierdo para igualar a 0:
[tex]\[ 2x^2 - x - (x^2 + 5x + y + 7) = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - x - x^2 - 5x - y - 7 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - 6x - y - 7 = 0 \][/tex]
La ecuación resultante es:
[tex]\[ x^2 - 6x - y - 7 = 0 \][/tex]
3. Resolver para [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( y \)[/tex]:
Necesitamos resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 6x - y - 7 = 0 \)[/tex]. Para la ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], las soluciones se obtienen utilizando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En este caso, [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -6 \)[/tex], y [tex]\( c = -(y + 7) \)[/tex]. Sustituimos estos valores:
[tex]\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-(y + 7))}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4(y + 7)}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4y + 28}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{4y + 64}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{y + 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \pm \sqrt{y + 16} \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones para [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( y \)[/tex] son:
[tex]\[ x = 3 - \sqrt{y + 16} \][/tex]
[tex]\[ x = 3 + \sqrt{y + 16} \][/tex]
Estas son las dos soluciones para [tex]\( x \)[/tex] en función de [tex]\( y \)[/tex].
Para resolver la ecuación:
[tex]\[ 3x(x + 1) - x(x + 4) = x(x + 5) + (y + 7) \][/tex]
1. Expandimos ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ 3x(x + 1) - x(x + 4) = x(x + 5) + (y + 7) \][/tex]
Lado izquierdo:
[tex]\[ 3x(x + 1) - x(x + 4) \][/tex]
[tex]\[ 3x^2 + 3x - x^2 - 4x \][/tex]
[tex]\[ 3x^2 - x^2 + 3x - 4x = 2x^2 - x \][/tex]
Lado derecho:
[tex]\[ x(x + 5) + (y + 7) \][/tex]
[tex]\[ x^2 + 5x + y + 7 \][/tex]
Entonces, la ecuación expandida es:
[tex]\[ 2x^2 - x = x^2 + 5x + y + 7 \][/tex]
2. Mover todos los términos al lado izquierdo para igualar a 0:
[tex]\[ 2x^2 - x - (x^2 + 5x + y + 7) = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x^2 - x - x^2 - 5x - y - 7 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x^2 - 6x - y - 7 = 0 \][/tex]
La ecuación resultante es:
[tex]\[ x^2 - 6x - y - 7 = 0 \][/tex]
3. Resolver para [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( y \)[/tex]:
Necesitamos resolver la ecuación cuadrática [tex]\( x^2 - 6x - y - 7 = 0 \)[/tex]. Para la ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], las soluciones se obtienen utilizando la fórmula cuadrática:
[tex]\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
En este caso, [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -6 \)[/tex], y [tex]\( c = -(y + 7) \)[/tex]. Sustituimos estos valores:
[tex]\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-(y + 7))}}{2(1)} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4(y + 7)}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4y + 28}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{4y + 64}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{y + 16}}{2} \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \pm \sqrt{y + 16} \][/tex]
Por lo tanto, las soluciones para [tex]\( x \)[/tex] en términos de [tex]\( y \)[/tex] son:
[tex]\[ x = 3 - \sqrt{y + 16} \][/tex]
[tex]\[ x = 3 + \sqrt{y + 16} \][/tex]
Estas son las dos soluciones para [tex]\( x \)[/tex] en función de [tex]\( y \)[/tex].
